Урок: как построить параболу или квадратичную функцию?
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Парабола — это график функции описанный формулой ax 2 +bx+c=0.
Чтобы построить параболу нужно следовать простому алгоритму действий:
1) Формула параболы y=ax 2 +bx+c
,
если а>0
то ветви параболы направленны вверх
,
а то ветви параболы направлены вниз
.
Свободный член c
эта точке пересекается параболы с осью OY;
2) , ее находят по формуле x=(-b)/2a , найденный x подставляем в уравнение параболы и находим y ;
3) Нули функции или по другому точки пересечения параболы с осью OX они еще называются корнями уравнения. Чтобы найти корни мы уравнение приравниваем к 0 ax 2 +bx+c=0 ;
Виды уравнений:
a) Полное квадратное уравнение имеет вид ax 2 +bx+c=0
и решается по дискриминанту;
b) Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +bx=0.
Чтобы его решить нужно вынести х за скобки, потом каждый множитель приравнять к 0:
ax 2 +bx=0,
х(ax+b)=0,
х=0 и ax+b=0;
c)Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +c=0.
Чтобы его решить нужно неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. x =±√(c/a);
4) Найти несколько дополнительных точек для построения функции.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
И так теперь на примере разберем все по действиям:
Пример №1:
y=x 2 +4x+3
c=3 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=3. Ветви параболы смотрят вверх так как а=1 1>0.
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2) 2 +4*(-2)+3=4-8+3=-1 вершина находится в точке (-2;-1)
Найдем корни уравнения x 2 +4x+3=0
По дискриминанту находим корни
a=1 b=4 c=3
D=b 2 -4ac=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x 1 =(-4+2)/2=-1
x 2 =(-4-2)/2=-3
Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=-2
х -4 -3 -1 0
у 3 0 0 3
Подставляем вместо х в уравнение y=x 2 +4x+3 значения
y=(-4) 2 +4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3) 2 +4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1) 2 +4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0) 2 +4*(0)+3=0-0+3=3
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=-2
Пример №2:
y=-x 2 +4x
c=0 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=0. Ветви параболы смотрят вниз так как а=-1 -1
Найдем корни уравнения -x 2 +4x=0
Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +bx=0. Чтобы его решить нужно вынести х за скобки, потом каждый множитель приравнять к 0.
х(-x+4)=0, х=0 и x=4.
Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=2
х 0 1 3 4
у 0 3 3 0
Подставляем вместо х в уравнение y=-x 2 +4x значения
y=0 2 +4*0=0
y=-(1) 2 +4*1=-1+4=3
y=-(3) 2 +4*3=-9+13=3
y=-(4) 2 +4*4=-16+16=0
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=2
Пример №3
y=x 2 -4
c=4 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=4. Ветви параболы смотрят вверх так как а=1 1>0.
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0) 2 -4=-4 вершина находится в точке (0;-4)
Найдем корни уравнения x 2 -4=0
Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +c=0. Чтобы его решить нужно неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. x =±√(c/a)
x 2 =4
x 1 =2
x 2 =-2
Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=0
х -2 -1 1 2
у 0 -3 -3 0
Подставляем вместо х в уравнение y= x 2 -4 значения
y=(-2) 2 -4=4-4=0
y=(-1) 2 -4=1-4=-3
y=1 2 -4=1-4=-3
y=2 2 -4=4-4=0
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=0
Подписывайтесь на канал на YOUTUBE , чтобы быть в курсе всех новинок и готовится с нами к экзаменам.
График квадратного трехчлена
2019-04-19
Квадратный трехчлен
Квадратным трехчленом мы назвали целую рациональную функцию второй степени:
$y = ax^2 + bx + c$, (1)
где $a \neq 0$. Докажем, что графиком квадратного трехчлена является парабола, получаемая параллельными сдвигами (в на правлениях координатных осей) из параболы $y = ax^2$. Для этого приведем выражение (1) путем простых тождественных преобразований к виду
$y = a(x + \alpha)^2 + \beta$. (2)
Соответствующие преобразования, записанные ниже, известны как «выделение точного квадрата»:
$y = x^2 + bx + c = a \left (x^2 + \frac{b}{a} x \right) + c = a \left (x^2 + \frac{b}{a} x + \frac {b^2}{4a^2} \right) - \frac {b^2}{4a} + c = a \left (x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac {b^2 - 4ac}{4a}$. (2")
Мы привели квадратный трехчлен к виду (2); при этом
$\alpha = \frac{b}{2a}, \beta = - \frac {b^2 - 4ac}{4a}$
(эти выражения не следует запоминать, удобней всякий раз выполнять преобразование трехчлена (1) к виду (2) непосредственно).
Теперь видно, что график трехчлена (1) - парабола, равная параболе $y = ax^2$ и получаемая сдвигами параболы $y = ax^2$ в направлениях осей координат на $\alpha$ и $\beta$ (с учетом знака $\alpha$ и $\beta$) соответственно. Вершина этой параболы помещается в точке $(- \alpha, \beta)$, ее осью служит прямая $x = - \alpha$. При $a > 0$ вершина - наинизшая точка параболы, при $a
Проведем теперь исследование квадратного трехчлена, т. е. выясним его свойства в зависимости от числовых значений коэффициентов $a, b, с$ в его выражении (1).
Обозначим в равенстве (2") величину $b^2- 4ac$ через $d$:
$y = a \left (x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{d}{4a}$; (4)
$d = b^2 - 4ac$ называется дискриминантом квадратного трехчлена. Свойства трехчлена (1) (и расположение его графика) определяются знаками дискриминанта $d$ и старшего коэффициента $a$.
1) $a > 0, d 0$; так как $a > 0$, то график расположен выше вершины $O^{ \prime}$; он лежит в верхней полуплоскости ($y > 0$ - рис а.).
2) $a
3) $a > 0, d > 0$. Вершина $O^{ \prime}$ лежит ниже оси $Ox$, парабола пересекает ось $Ox$ в двух точках $x_1, x_2$ (рис в.).
4) $a 0$. Вершина $O^{ \prime}$ лежит выше оси $Ox$, парабола снова пересекает ось $Ox$ в двух точках $x_1, x_2$ (рис. г).
5) $a > 0, d = 0$. Вершина лежит на самой оси $Ox$, парабола расположена в верхней полуплоскости (рис. д).
6) $a
Выводы. Если $d 0$), либо ниже (при $a
Если $d > 0$, то функция знакопеременная (график частью лежит ниже, частью выше оси $Ox$). Квадратный трехчлен с $d > 0$ имеет два корня (нуля) $x_1, x_2$. При $a > 0$ он отрицателен в интервале между корнями (рис. в) и положителен вне этого интервала. При $a
Из школьного курса математики известно, что под квадратным трехчленом понимается выражение вида
ax 2 + bx + c, где a ≠ 0.
Корни этого трехчлена вычисляются по формуле: Х 1,2 = (-b ± √D) / (2a), где D = b 2 – 4ac.
D называют дискриминантом . Он имеет важнейшее значение для решения задач по данной теме, так как по нему определяется количество корней трехчлена.
Их два – если D > 0, один – если D = 0 (иногда говорят два одинаковых, т.е. х 1 = х 2 = -b/(2a)), и если D < 0, то действительных корней нет.
Функцию вида (*) у = ax 2 + bx + c , где a ≠ 0 называют квадратической. Ее график – парабола, ветви которой направлены вверх, если a > 0 и вниз если a < 0. Корни соответствующего квадратного трехчлена есть нули функции, т.е. точки пересечения параболы с осью ОХ. Точка пересечения параболы с осью ОУ – с. Легко определить координаты вершины параболы (m ;n).
m = (x 1 + x 2)/2 или (**) m = -b/(2a).
n можно вычислить путем подстановки значения m вместо х в формулу
у = ax 2 + bx + c, или же воспользоваться формулой y = -D/(4a).
Если в квадратном трёхчлене выделить полный квадрат, то m и n в записи будут присутствовать в явном виде: (***) y = a(x – m) 2 + n.
Здесь изложен практически весь справочный материал, необходимый для решения задач по заявленной теме. Рассмотрим некоторые примеры заданий.
Пример 1.
При каких значениях а вершина параболы y = (x – 13a) 2 – a 2 + 6a + 16 лежит во второй четверти координатной плоскости?
Решение.
Квадратичная функция записана в форме выделенного полного квадрата (***).
Тогда ясно, что m = 13a и n = -a 2 + 6a + 16. Чтобы вершина с координатами (m; n) лежала во второй четверти необходимо, чтобы m < 0, n > 0. Условия должны удовлетворяться одновременно. Следовательно, решаем систему неравенств:
{13a < 0,
{-a 2 + 6a + 16 > 0
Из первого неравенства имеем a < 0. Второе решаем методом интервалов или путем графического представления. Не зависимо от способа, получаем его решение: а Є (-2: 8). Решение системы неравенств есть пересечение (общая часть) полученных решений:а Є (-2: 0).
Ответ: при всех а Є(-2: 0) или при -2 < a < 0.
Пример 2.
При каких значения параметра а наибольшее значение функции y = ax 2 – 2x + 7a равно 6?
Решение.
Квадратическая функция будет иметь наибольшее значение лишь, если ветви параболы направлены вниз (т.е. a < 0) и достигнет его функция в вершине параболы. Иначе говоря, y max = n = 6 достигается при х = m. Исходя из формулы (**), имеем
m = 2/2a. D = 4 – 28a 2 .
Тогда n = (28a 2 – 4)/4a = (7a 2 – 1)/a = 6; или 7a 2 – 1 = 6a.
Решив полученное уравнение имеем a = 1 или a = -1/7. Но a = 1 не удовлетворяют первому условию.
Ответ: при a = -1/7.
Пример 3.
Найти количество целых значений параметра а, при которых уравнение
а) |x 2 – 8x + 7| = a 2 ; b) |x 2 – 6|x| – 16| = a 2 + 9 имеет 4 корня.
Решение.
а) Здесь наиболее короткий способ решения – графический. План таков:
1. Строим график функции у = x 2 – 8x + 7 (парабола).
2. Затем у = |x 2 – 8x + 7| (отображаем нижнюю часть графика относительно ОХ).
Дальнейший ход решения очевиден из рисунка. Прямая пересечет график в четырех точках, если 0 < a 2 < 9 или a = ±1; a = ±2.
Ответ: 4.
b) Решение этого примера осуществляется по такой же схеме. Разница лишь в том, что при построении графика функции у = |x 2 – 6|x| – 16| придется сделать два отображения: относительно ОХ нижней части графика и относительно ОУ – правой. Если вы правильно построите график, то легкообнаружите 7 решений:
а = 0; a = ±1; a = ±2; a = ±4;
Пример 4.
При каких значениях а график квадратного трёхчлена у = аx 2 + (а – 3)x + а лежит выше оси абсцисс?
Решение.
Проведём следующие рассуждения. График квадратного трёхчлена будет лежать выше оси ОХ только в том случае когда ветви параболы направлены вверх, т.е
а > 0 (*), и ось ОХ парабола не пересекает, т.е. D < 0 или
(а – 3) 2 – 4а 2 < 0 → (-a – 3)(3a – 3) < 0 → (a + 3)(3a – 3) > 0 → а Є (-∞; -3) или (1; ∞). С учётом условия (*) получим а Є (1; ∞).
Ответ: а Є (1; ∞).
Пример 5.
При каких значениях а график квадратного трёхчлена у = аx 2 + (а – 3)x + а имеет две общие точки с положительной частью оси ОХ?
Решение.
Разберемся с условиями для коэффициентов: (рисунок смотрим ниже)
1. Две точки пересечения с осью ОХ получим, если
D > 0 → (a – 3)2 – 4a2 > 0
2. Точки окажутся с одной стороны от нуля, если ветви направлены вверх и f(0) = a > 0 или в случае, когда ветви направлены вниз и f(0) = a < 0
3. Оба корня будут положительны, если координата х вершины положительна, т.е. m = -(a – 3)/(2a) > 0.
Исходя из выше изложенного, наши условия сведутся к решению двух систем:
Первая система:
{(a – 3) 2 – 4a 2 > 0,
{a > 0,
{-(a – 3)/(2a) > 0
Упростив, получаем:
{(3a – 3)(a + 3) < 0,
{a > 0,
{(a – 3) < 0
{а Є (-3; 1),
{а Є (0; ∞),
{а Є (-∞; 3)
и общее решение системы а Є(0; 1).
Вторая система:
{(a – 3) 2 – 4a 2 > 0,
{a < 0,
{-(a – 3)/(2a) > 0
Упростив, получаем:
{(3a – 3)(a + 3) < 0,
{a < 0,
{(a – 3) > 0
Решения каждого из неравенств:
{а Є (-3; 1)
{а Є (-∞; 0)
{а Є (3; ∞)
и система не имеет решений
Таким образом, наша парабола имеет две общие точки с положительным направлением оси ОХ, если параметр а Є (0; 1).
Пример 6.
При каких значениях а корни уравнения 4а 2 х 2 – 8ах + 4 – 9а 2 = 0 больше 3?
Рассматриваем график квадратного трёхчлена у = 4а 2 х 2 – 8ах + 4 – 9а 2 .
План решения этого задания построим по образцу предыдущего примера.
1. Две точки пересечения с осью ОХ получим, если D > 0 и а ≠ 0.
2. Ветви здесь всегда направлены только вверх
(при а ≠ 0; 4а 2 > 0).
3. Точки окажутся с одной стороны от 3, если f(3) > 0.
(36а 2 – 24а + 4 – 9а 2 > 0).
4. Оба корня будут больше (правее) трех, если координата х вершины больше (правее) трех, т.е. m = 8а/(8a 2) > 3.
Если вы правильно воспользуетесь этими условиями, то ответ получите такой: а Є(0;2/9). Проверьте.
Надеюсь, теперь читателю становится ясно, как важно уметь хорошо видеть свойства параболы при решении задач данного типа.
Остались вопросы? Не знаете, как решать квадратные уравнения?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.