На уроках алгебры, обучающиеся должны научиться строить графики. Ведь эти умения могут оказать хорошее значение и на других предметах. Также это важно и для жизненных ситуаций. Но чтобы материал был нагляден, требуются разные способы его преподнесения. Одним из таких действенных способов является презентация.

слайды 1-2 (Тема презентации "Как построить график функции у=f(x)+m, если известен график функции у=f(x)", пример)

Данная презентация была подготовлена автором для облегчения работы учителя, чтобы сэкономить силы и время. Здесь имеется все необходимое, чтобы донести материал до обучающихся. И начинается данная презентация с частного случая, где на примере показано, как построить график функции y=x2+4, если обучающиеся уже могут строить графики y=x2 на его основе новый график и строится.

То есть сначала следует изобразить график y=x2, а затем, построив таблицу значений для второй функции построить ее график. Отсюда становится ясно, что график y=x2+4 получается путем сдвига графика y=x2 на 4 единицы вверх. Таким образом, учитель может подвести обучающихся к способу построения таких графиков, основываясь на умения, полученные ранее. Но этот пример кается только то, что к стандартной функции прибавляется положительное число.

слайды 3-4 (примеры, правила построения)

Но в математике часто можно встретить случай, когда к функции прибавляется и отрицательное число. Для этого автор демонстрирует другие два примера, расположенных на следующем слайде. Причем, автор акцентирует внимание на то, что коэффициент никаким образом не влияет на поведение графика, в плане его сдвига.

Далее в презентации идет словесная формулировка правила, по которому происходит построение графика функции у=f(x)+m. Она гласит о том, что если к функции прибавить положительное число m, то график ее сдвигается на m единиц вверх, а если вычитать, то на m единиц вниз. Это обучающиеся должны хорошенько запомнить. Тогда никаких проблем с построением графиков не возникнет.

слайды 5-6 (примеры)

Далее автор на примере линейной функции, проходящей через начало координат, показывает, как построить график, если к значению функции прибавить число m. Это должно будет пригодиться в дальнейшем, даже на этом же уроке.

После этого автор на примерах предлагает показать, как применять полученные знания. Тут дана функция y=-2x2+5, нужно построить ее график. Сначала в системе координат строится график y=-2x2, а затем, этот график, а точнее, все его точки поднимаются на 5 единиц вверх. Это все показано на рисунке.

слайды 7-8 (примеры)

В следующем примере нужно построить график функции y=3/x-2. Здесь тоже автор предлагает сначала построить график y=3/x, а затем все точки этого графика опустить на 2 единицы вниз, так как из значения функции вычитается число 2.

Но эти примеры совсем уж примитивные, уровень которых еле дотягивает до удовлетворительного уровня. В математике часто встречаются задания гораздо сложнее этих. Поэтому автор предлагает рассмотреть следующий пример, суть которого заключается именно не в том, чтобы построить график функции, а найти ее наибольшее и наименьшее значения. Но без знаний, которые давались в данной презентации никак не обойтись.

слайды 9-10 (примеры)

Тогда работа по нахождению наименьшего и наибольшего значений будет облегчена. Для начала следует график этой функции построить согласно новому правилу, а затем отметить промежуток, на котором следует отыскать наименьшее и наибольшее значения. И окончательно записать ответ.

Следующий же пример предлагает решить уравнение, у которого левая и правая части равенства представляют собой некоторые функции. Поэтому, чтобы решить это уравнение нужно найти точки пересечения этих графиков. Значит графики функций нужно построить. Как раз одна из этих функций очень похожа на ту, что подходит под правило, изученное в начале урока. Применив данное правило, не придется строить таблицу значений, а значит сокращается время на выполнение данного задания.

слайды 11-12 (пример, замечание)

Следующий же пример содержит в себе два правила построения графиков функций. Одно из них обучающиеся должны проходить по темам немного раньше, а другое по данной презентации. Построив графики по этим правилам, остается больше времени на то, чтобы описать свойства заданной функции. Что также важно для обучающихся.

И последний слайд презентации содержит замечание, что график сдвигается вверх или вниз на |m| единиц. Направление сдвига определяется знаком числа m: при m>0 график сдвигается вверх, при m<0 - вниз.

Презентацию учитель, конечно, может доработать, но автор постарался здесь разместить все необходимое и важное. Ее можно использовать на стандартных уроках, на показательных уроках и на внеурочных занятиях. Материал подобран гармонично, согласно методике обучения математике.

Разделы: Математика

Цели урока:

Образовательные:

• экспериментальным путем получение алгоритма построения графиков функций вида y = f (x+l) , y = f (x)+m; ?у = k (х - l ) 2 , у = kх 2 +m , если известен график функции y = kх 2 ;
• усвоение основных понятий; влияния k,l и m на движение графика;
• формирование обобщенных знаний, способов деятельности по построению графика функции y = f (x+l) ,? y = f (x)+m, если известен график функции y= f(x) , оперирование ими;
• применение полученного алгоритма и закономерностей его проявления к построению графиков квадратичной функции, функции вида y= k/x .

Развивающие:

• совершенствовать умения логически мыслить и выражать свои мысли вслух; стимулировать познавательную деятельность учащихся постановкой проблемного задания, оценкой и поощрением; способствовать развитию находчивости, сообразительности;
• развитие навыков работы с графиками, выяснение свойств функции по графику и применение шаблонов для построения графиков;
• формирование потребности в приобретении знаний, развитие кругозора, любознательности, внимания.

Воспитательные:

• воспитывать у учащихся стремление к совершенствованию своих знаний; воспитывать интерес к предмету;
• воспитание навыков самоконтроля, привычки к рефлексии;
• культуры математической речи, привитие интереса к изучению математики.
• изменение роли ученика в учебном процессе от пассивного наблюдателя до активного исследователя.

Оборудование: шаблоны линейка, карандаш, цветные карандаши, планшеты.

Ход урока

Организационный момент. / Цель- положительный настрой на организованную работу/.

(Приветствие, проверка готовности уч-ся к уроку, организация внимания учащихся).

Этап проверки выполнения домашнего задания. Цель-выяснение пробелов в знаниях.

Повторение темы: " Как построить график функции y = f(x+l), если известен график функции y = f(x)?" (Определение типичных недостатков в знаниях и их причин; исправление допущенных ошибок; использование взаимопомощи и самоконтроля учащихся).

1. Назовите формулы функций, графики которых вы строили в домашней работе, которые отличались друг от друга числом, прибавляемым к аргументу функции. Назовите это число.

2. Как расположены графики в первом случае относительно друг друга при построении их в одной системе координат? На сколько единиц один из графиков сдвинут относительно другого? (Сдвиг графика влево).

3. Назовите формулы функций, графики которых вы строили в домашней работе, которые отличались друг от друга числом, вычитаемым из аргумента функции. Назовите это число.

4. Как расположены графики во втором случае относительно друг друга при построении их в одной системе координат? На сколько единиц один из графиков сдвинут относительно другого? (Сдвиг графика вправо).

5. Как имея график одной из функций, вы могли бы построить график второй функции? Что для этого вам было бы нужно знать.

Актуализация знаний. Устная работа.

Цель-различение видов функций.

1. Задание: Игра. "Собери яблоки". Заданы формулы на внутренней стороне бумажной модели яблока, нужно собрать и рассортировать яблоки по корзинам №1; №2; №3.В №1- элементарные функции; №2 -функции испытывающие растяжение и сжатие; №3 - функции сдвинутые вдоль оси ОХ. Графики каких функций оказались в 1 корзине,2 и 3? (у = x 2 , у = (х+3) 2 ; у =4 (х+5) 2 ; у = (х+0,3) 2 ; у = (х - 3) 2 ; у = x 2 -2; у=2х 2 -3; у = -12x 2 у = - x 2 , , , ; y = - 2х 2 ; y = 0,5х 2). Слайд12. / Приложение № 1/

Какие формулы оказались лишними? (Пока отложим эти формулы) / Приложение №2/

2. Задание. График какой функции изображён на рисунке.

3. Задание. Заполните пустые графы таблицы: /Приложение №3/

х	- 4	- 3	- 2	-	0	1			4
у		9		1			4	9

По полученным данным какую фигуру можно построить? (кривую).

Назовите формулу зависимости. Постройте ее график.Как называется график функции y = kх 2 ? Как направлены ветви параболы? При каких значениях аргумента функция y = х 2 ?принимает: положительные значения; отрицательные значения?

Этап подготовки учащихся к активному и сознательному усвоению нового материала.

Маша и Миша (ребята из страны "Юные математики") поспорили между собой. Маша, сказала, что для построения графика функции y = f (x+l) нужно взять много, много точек и построить по ним график, а Миша говорит, что можно поступить проще. Для этого можно использовать график похожей функции и двигать его вдоль оси ОХ.

Ребята помогите разрешить им этот вопрос. Кто из ребят прав и почему? (Правы оба, но метод сдвига вдоль ОХ рациональнее). Используя шаблоны, планшет построить графики функции у = (х+3) 2 ; у = (х-1) 2 ; у = - (х+3) 2. Какой вывод можно сделать? Сколько точек и каких удобнее брать для построения графиков функций? (Работа на 1 трафарете, с использованием шаблонов-1часть доски). Слайд13

Вывод: "Чтобы построить график функции y = f(x+l), если известен график функции y = f(x): нужно сдвинуть график функции y = f(x)- влево, если l>0? Вправо, если l<0".?(5точек, начальная противоположна l) l<0- вправо; l>0-влево. /Приложение №4/

Маша и Миша посмотрев на функцию у= х 2 +2, опять поспорили: Маша утверждает что график этой функции нужно двигать влево вдоль оси ОХ, а Миша твердо убежден что делать этого нельзя. Помогите Маше найти правильное рещение. Что для этого нужно сделать? (Нужно построить график заданной функции).

Изучение нового материала. Воспроизведение знаний и способов деятельности в новых ситуациях. (Строится на основе проектного метода - 2,3 часть доски). (Работа в парах).

Итак, тема нашего урока: "Как построить график функции y = f(x)+m, если известен график функции y = f(x). Давайте, чтобы точно узнать алгоритм построения такого вида функций будем работать группами. Для каждой группы задано схожее с заданной функцией выражение: 1гр. - у = х 2 +2; 2 гр.- у= х 2 - 2; 3 гр.- у= - х 2 +2.

Идет построение и преобразование графиков квадратичной функции. Ребята попытаются экспериментальным путем получить алгоритм для построения графиков квадратичных функций вида у = kх 2 + m, используя график функции y = kх 2 . (На 2 трафарете-3часть доски, отображается результат решения с помощью шаблонов парабол)

(Цель: экспериментальным путем получить алгоритм построения графиков функций вида: ? y = f (x)+m; ?у = k (х - l ) 2 ,? у = kх 2 +m , если известен график функции y = kх 2 ; установить влияние k,l и m на движение графика; усвоить способы деятельности по построению графика функции y = f (x+l) , y = f (x)+m, функции вида y= k/x, если известен график функции y= f(x) , оперировать ими; затем выяснить свойства заданной функции по графику, читать и объяснять графики, увидеть красоту и совершенство зависимостей). Слайд 22

Вывод: "Чтобы построить график функции y = f(x) +m, если известен график функции y = f(x): нужно сдвинуть график функции y = f(x) - вверх вдоль оси ОУ, если m>0? Вниз вдоль оси ОУ, если m<0".? m>0 -вверх; m<0- вниз. / Приложение №5/

Давайте проверим вывод, по нашему другу - учебнику. Работа по учебнику. П.20 стр.110 . (Сам. работа по учебнику). Поиск, чтение и проговаривание алгоритма работы с функциями вида y = f(x+l), если известен график функции y = f(x). Повторение и применение алгоритма для работы с линейными функциями. Анализ: пример№1 и пример№2. Стр. 112 учебника

6,Анализ, озвучивание, оценивание и обсуждение полученных результатов. /Цель -умение увидеть и объяснить математическим языком происходящие преобразования преобразования/

Но, как быть с другими видами функций, например: вида у=1/х - сомневается Маша. Помогите Маше решить эту проблему.(см. пример №2 Стр. 112 учебника)

Давайте применим вывод, для решения разного типа заданий.

"Как построить функции у=f(x+l), имея график функции у=f(x)?"

"Как построить функции у=f(x)+m, имея график функции у=f(x)?"

Решение: 1 гр. - №20.1(в);1 гр.--20.1(г); 3 гр.-20.3(в) по нашему помощнику - задачнику. Работа по задачнику. П.20 стр.124.

Обобщение знаний, их систематизация. Рефлексия.

Цель - умение сделать математические выводы и объяснить их суть.

Какой общий вывод можно сделать для работы с графиками y = f(x+l), y = f(x)+m, если известен график функции y = f(x). /Приложение №6/

Вид функции	График может быть получен из графика функции у=f(x) с помощью сдвига исходного графика	График может быть получен из графика функции у=f(x) с помощью сдвига координатной оси
у = f(x + l), l> 0	вдоль оси абсцисс на l единиц масштаба влево	ординат на l единиц масштаба вправо
у = f(x + l), l< 0	вдоль оси абсцисс на l единиц масштаба вправо	ординат на l единиц масштаба влево
у = f(x) + m, m> 0	вдоль оси ординат на m единиц масштаба вверх	абсцисс на m единиц масштаба вниз
у = f(x) + m, m< 0	вдоль оси ординат на m единиц масштаба вниз	абсцисс на m единиц масштаба вверх

Блестяще: если будет ответ "При сдвиге графика вправо (влево) в какую сторону сдвигается ось ординат?", "При сдвиге графика вниз (вверх) в какую сторону сдвигается ось абсцисс?". Т.е. Можно сдвигать для удобства оси координат.

Маша и Миша довольны выводом алгоритма установленным ребятами 8 класса, для квадратичной функции и др. видами функций вида y = f(x+l), и y = f(x)+m, если известен график функции y = f(x).

8. Применение полученных знаний. Проверка понимания сущности изучаемой темы с помощью обучающих проверочных тестов. Каждый ученик получает листок с заданием, на котором дает ответы на вопрос. По окончании ученики меняются листами, проверяют ответы друг друга, ставят оценку. За каждое правильное задание -1 балл. Ответы: /Приложение №7/

№1 - 1В, 2Б, 3Г, 4А. №2 - А4, Б1, В2, Г3. №3 - Iв, IIа, IIIб. №4 - Iб, IIа, IIIв. №5 - 13, 21, 34, 42.

Применение проверочных тестов. /Приложение №8/

/Приложение №9/

Рефлексия. Подведение итогов, домашнее задание (Цель -эффективность работы на уроке).

Рефлексивные вопросы:

Что нового вы узнали сегодня на уроке?

Что хотели бы узнать дополнительно по теме?

Понравился ли вам урок?

Как вы оцениваете свою работу на уроке?

Подведение итогов, домашнее задание (Цель -эффективность работы на уроке).

• проводится анализ работ учащихся;
• отмечаются лучшие работы;
• организуется самооценка учениками своей деятельности;
• фиксируется степень соответствия поставленной цели и результатов деятельности;
• намечаются цели последующей деятельности (дается возможность составить уравнение функции вида y= f(x+l) +m, по заданному графику параболы) -на координатной плоскости.

Построив точки (0; 4), (1; 5), (-1; 5), (2; 8), (-2; 8) на координатной плоскости и соединив их плавной кривой, получим параболу (цветная линия на рис. 43). Обратите внимание - это точно такая же парабола, как и у = х 2 , но только сдвинутая вдоль оси у на 4 единицы масштаба вверх. Вершина параболы теперь находится в точке (0; 4), а не в точке (0; 0), как для параболы у = х 2 . Осью симметрии по-прежнему служит прямая х = 0, как это было и в случае

параболы у = х 2 .

Если же построить в одной системе координат графики функций у = х 2 и у = х 2 -2 (рис. 44), то заметим, что второй график получается из первого сдвигом (параллельным переносом) вдоль оси у на 2 единицы масштаба вниз.

Точно так же обстоит дело и с графиками других функций . Например, график функции у = 2х 2 - 3 - парабола, которая получается из параболы у = 2х 2 сдвигом (параллельным переносом) вдоль оси у на 3 единицы масштаба вниз (рис. 45).

Вообще, справедливо следующее утверждение: чтобы построить график функции у = f(x) + mт, где т - заданное положительное число, надо сдвинуть график функции у = f(x) вдоль оси у на т единиц масштаба вверх; чтобы построить график функции у = f(x) - m, где m - заданное положительное число, надо сдвинуть график функции у = f(x) вдоль оси у на т единиц масштаба вниз.

Между прочим, этот результат не является для вас абсолютно новым. Вспомните, как обстояло дело с графиками функций у = kx и у = kx + m: это - две параллельные прямые, одна из которых (у = kx) проходит через начало координат, а другая {у = kx + m) проходит через точку (0; m), т. е. фактически получена из первой прямой сдвигом вдоль оси у на т единиц (рис. 46).

Пример 1. Построить график функции у = -2х 2 + 5.

Решение. Построив параболу у = - 2х2 и сдвинув ее
вдоль оси у вверх на 5 единиц, получим график функции у = - 2х 2 + 5 (рис. 47).

Пример 2 . Построить график функции - 2
Решение. Построив гиперболу и сдвинув ее вдоль оси у вниз на 2 единицы, получим график функции - 2 (рис. 48). Обратите внимание, что и горизонтальная асимптота гиперболы сдвинулась на 2 единицы вниз: для гиперболы асимптотой служила ось х (прямая у = 0), а для гиперболы - 2 асимптотой служит прямая у = -2.

Пример 3. Найти наименьшее и наибольшее значения функции у = 3 - 2х 2 на отрезке [-2, 1].

Решение. Построим график функции у = 3 - 2х 2 и выделим его часть на отрезке [- 2, 1] (рис. 49). Замечаем, что у нанм = - 5 (достигается при х = - 2),

а у наиб. = 3 (достигается при х = 0).

Ответ: у наим. = - 5; у наиб. = 3.

1. Область определения функции - луч [-4, + оо).

2. у = 0 при х = - 2 и при х = 2; у > 0 при -4<х<-2 и при -2<х<2;у<0 при х > 2.

3. Функция убывает на промежутках [-4, -2] и .
4. Функция ограничена сверху, но не ограничена снизу.

5- y нанм. не существует; y наиб = 4 (достигается при х = - 4 и при х = 0).

6. Функция непрерывна в заданной области определения.

Замечание. По сути дела, в этом параграфе речь шла о построении графика функции у = f (x) + m, где m - любое число, как положительное, так и отрицательное. Вы, наверное, заметили, что, думая, на сколько единиц масштаба надо сдвинуть вдоль оси у график функции у = f(x), мы не обращали внимания на знак числа m; график сдвигался в действительности вверх или вниз на | m I единиц. А вот направление сдвига как раз и определялось знаком числа m при т > 0 график сдвигался вверх, а при т < 0 - вниз.

Мордкович А. Г., Алгебра . 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений.- 3-е изд., доработ. - М.: Мнемозина, 2001. - 223 с: ил.

Библиотека с учебниками и книгами на скачку бесплатно онлайн , Математика для 8 класса скачать , школьная программа по математике, планы конспектов уроков

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки