Задача суммирования множества слагаемых решается в теории рядов.

где u 1, u 2, u 3 …., u n …–члены бесконечной числовой последовательности, называется числовым рядом .

Числа u 1, u 2, u 3 …., u n … называют членами ряда , а u n – общий член ряда.

Сумма конечного числа n первых членов ряда называется n–й частичной суммой ряда.

S n = u 1 + u 2 +… + u n ,

т.е. S 1 = u 1 ; S 2 = u 1 + u 2

S n = u 1 + u 2 +…+ u n

Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел частичной суммы S n при n , то есть

Число S называется суммой ряда.

В противном случае:

Тогда ряд называется расходящимся.

Эталонные ряды.

1. Геометрический ряд (геометрическая прогрессия)

Пример.

2. Гармонический ряд.

3. Обобщенный гармонический ряд.

Пример.

.

Признаки сходимости знакоположительных рядов

Теорема 1. Необходимый признак сходимости.

C помощью этого признака можно установить расходимость ряда.

Пример.

Достаточные признаки

Теорема 1.Признак сравнения рядов.

Пусть даны два знакоположительных ряда:

Причем тогда, если ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1).

Если ряд (1) расходится, то расходится и ряд (2).

Пример. Исследовать ряд на сходимость:

Сравним этот ряд с геометрическим рядом:

Следовательно, по признаку сравнения искомый ряд сходится.

Теорема 2. Признак Даламбера.

Пример. Исследовать на сходимость ряд:

по признаку Даламберу ряд сходится.

Теорема 3.Радикальный признак Коши.

3) при вопрос о сходимости остается открытым.

Пример: исследовать на сходимость числовой ряд:

Решение:

Следовательно, ряд сходится по Коши.

Теорема 4. Интегральный признак Коши.

Пусть члены ряда

положительны и не возрастают, то есть и являются значениями непрерывной невозрастающей функцииf (x ) при x = 1, 2, …, n .

Тогда для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл:

Пример.

Решение:

Следовательно, ряд расходится, так как расходится несобственный интеграл.

Знакопеременные ряды. Понятие абсолютной и условной сходимости знакопеременого ряда.

Ряд называется знакопеременным , если любой его член может быть, как положительным, так и отрицательным.

Рассмотрим знакочередующиеся ряды:

Теорема 1. Признак Лейбница (достаточный признак).

Если у знакочередующегося ряда

члены убывают по абсолютной величине, то есть и

то ряд сходится, и его сумма не превосходит первого члена, то есть S ≤ .

Пример.

Решение:

Применим признак Лейбница:

.

Следовательно, ряд сходится по Лейбницу.

Теорема 2. Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда.

Если для знакопеременного ряда сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов , то данный знакопеременный ряд сходится.

Пример: исследовать ряд на сходимость:

Решение:

из абсолютных величин членов исходного ряда сходится, как обобщенный гармонический ряд при .

Следовательно, исходный ряд сходится.

Этот признак является достаточным, но не необходимым, то есть существуют знакопеременные ряды, которые сходятся, хотя ряды, составленные из абсолютных величин, расходятся.

Определение 1. абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов.

Определение 2. Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если сам ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

Отличие между ними в том, что абсолютно сходящийся ряд сходится из-за того, что его члены быстро убывают, а условно сходящийся ряд сходится из-за того, что положительные и отрицательные члены уничтожают друг друга.

Пример.

Решение:

Применим признак Лейбница:

Следовательно, ряд сходится по Лейбницу. Но ряд составленный из абсолютных величин его членов расходится, как гармонический.

Значит, исходный ряд сходится условно.

С помощью данного онлайн калькулятора можно находить суммы рядов, определять их сходимость, абсолютную и условную. Ряд - это последовательность чисел (либо функций - для функциональных рядов), которые связаны между собой определенным законом. Сумма членов ряда это и есть сумма ряда. Для доказательства того, что такая сумма существует (то есть она не равна бесконечности) можно использовать принципы сходимости числовых рядов - принцип Коши, принцип Доламбера и т.д. После доказательства того, что ряд сходится вычислить сумму числового ряда уже необходимо индивидуально. Для геометрической прогрессии, например, сумма вычисляется по формуле:

Найти сумму ряда онлайн

На нашем сайте вы можете вычислить сумму ряда онлайн . Всегда быстро, надежно, бесплатно. Удобный интерфейс для ввода рядов, задание начального и конечного значения элементов. Возможность находить сумму функционального ряда, использование буквенных констант. На практике студенты имеют дело с числовыми рядами довольно часто. Они широко используются в приближенных вычислениях (вычисление интегралов не имеющих аналитического решения, выполнение математических действий, решение дифференциальных уравнений и т.д.). А про функциональные ряды наподобие ряда Тейлора или ряда Фурье и говорить не приходится. С помощью нашего калькулятора определить сумму ряда теперь не проблема.

Последовательность - высокоупорядоченный числовой набор, образованный по заданному закону. Термин «ряд» обозначает результат сложения членов соответствующей ему последовательности. Для различных числовых последовательностей мы можем найти сумму всех ее членов или общее число элементов до заданного предела.

Последовательность

Под этим термином понимается заданный набор элементов числового пространства. Каждый математический объект задается определенной формулой для определения общего элемента последовательности, а для большинства конечных числовых наборов существуют простые формулы определения их суммы. Наша программа представляет собой сборник из 8 онлайн-калькуляторов, созданных для вычисления сумм наиболее популярных числовых наборов. Начнем с самого простого - натурального ряда, которым мы пользуемся в повседневной жизни для пересчета предметов.

Натуральная последовательность

Когда школьники изучают числа, они первым делом учатся считать предметы, например, яблоки. Натуральные числа естественным образом возникают при счете предметов, и каждый ребенок знает, что 2 яблока - это всегда 2 яблока, не больше и не меньше. Натуральный ряд задается простым законом, который выглядит как n. Формула гласит, что n-ный член числового набора равен n: первый - 1, второй - 2, четыреста пятьдесят первый - 451 и так далее. Результат суммирования n первых натуральных чисел, то есть начинающихся от 1, определяется по простой формуле:

∑ = 0,5 n × (n+1).

Расчет суммы натурального ряда

Для вычислений вам потребуется выбрать в меню калькулятора формулу натурального ряда n и ввести количество членов последовательности. Давайте вычислим сумму натурального ряда от 1 до 15. Указав n = 15, вы получите результат в виде самой последовательности:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15

и суммы натурального ряда, равной 120.

Легко проверить корректность вычислений при помощи выше приведенной формулы. Для нашего примера результат сложения будет равен 0,5 × 15 × 16 = 0,5 × 240 = 120. Все верно.

Последовательность квадратов

Квадратичная последовательность образуется из натуральной, путем возведения каждого члена в квадрат. Ряд квадратов формируется по закону n 2 , следовательно, n-ный член последовательности будет равняться n 2: первый - 1, второй - 2 2 = 4, третий - 3 2 = 9 и так далее. Результат суммирования начальных n элементов квадратичной последовательности вычисляется по закону:

∑ = (n × (n+1) × (2n+1)) / 6.

При помощи этой формулы вы легко можете высчитать сумму квадратов от 1 до n для сколько угодно большого n. Очевидно, что эта последовательность также бесконечна и с ростом n будет расти и общее значение числового набора.

Расчет суммы квадратного ряда

В этом случае вам потребуется выбрать в меню программы закон квадратной последовательности n 2 , после чего выбрать значение n. Давайте рассчитаем сумму первых десяти членов последовательности (n= 10). Программа выдаст саму последовательность:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100

а также сумму, равную 385.

Кубический ряд

Ряд кубов представляет собой последовательность натуральных чисел, возведенных в куб. Закон образования общего элемента последовательности записывается как n 3 . Таким образом, первый член ряда равен 1 3 = 1, второй - 2 3 = 8, третий - 3 3 = 27 и так далее. Сумма первых n элементов кубического ряда определяется по формуле:

∑ = (0,5 n × (n+1)) 2

Как и в предыдущих случаях, элементы числового пространства стремятся в бесконечность, и чем больше количество слагаемых, тем больше результат суммирования.

Расчет суммы кубического ряда

Для начала выберите в меню калькулятора закон кубического ряда n 3 и задайте любое значение n. Давайте определим сумму ряда из 13 членов. Калькулятор выдаст нам результат в виде последовательности:

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197

и суммы соответствующего ей ряда, равного 8281.

Последовательность нечетных чисел

Множество натуральных чисел содержит подмножество нечетных элементов, то есть тех, которые не делятся на 2 без остатка. Последовательность нечетных чисел определяется выражением 2n - 1. Согласно закону, первый член последовательности будет равен 2×1 − 1 = 1, второй - 2×2 − 1 = 3, третий - 2×3 − 1 = 5 и так далее. Сумма начальных n элементов нечетного ряда вычисляется по простой формуле:

Рассмотрим пример.

Вычисление суммы нечетных чисел

Сначала выберете в меню программы закон образования нечетного ряда 2n−1, после чего введите n. Давайте узнаем первые 12 членов нечетной ряда и его сумму. Калькулятор мгновенно выдаст результат в виде набора чисел:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23,

а также суммы нечетного ряда, который равен 144. И действительно, 12 2 = 144. Все верно.

Прямоугольные числа

Прямоугольные числа относятся к классу фигурных чисел, которые представляют собой класс числовых элементов, необходимых для построения геометрических фигур и тел. К примеру, чтобы построить треугольник необходимо 3, 6 или 10 точек, квадрат - 4, 9 или 16 точек, а для выкладывания тетраэдра потребуется 4, 10 или 20 шаров или кубов. Прямоугольники легко построить при помощи двух последовательных чисел, например, 1 и 2, 7 и 8, 56 и 57. Прямоугольные же числа выражаются в виде произведения двух последовательных натуральных чисел. Формула для общего члена ряда выглядит какn × (n+1). Первые десять элементов такого числового набора выглядят как:

2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110…

С увеличением n растет и значение прямоугольных чисел, следовательно, сумма такого ряда также будет расти.

Обратная последовательность

Для прямоугольных чисел существует обратная последовательность, определяемая формулой 1 / (n × (n+1)). Числовой набор трансформируется в набор дробей и выглядит как:

1/2 , 1/6, 1/12, 1/20, 1/30, 1/42, 1/56, 1/72, 1/90, 1/110…

Сумма ряда дробей определяется по формуле:

∑ = 1 - 1/(n+1).

Очевидно, что при увеличении количества элементов ряда значение дроби 1/(n+1) стремится к нулю, а результат сложения приближается к единице. Рассмотрим примеры.

Сумма прямоугольного и обратного ему ряда

Давайте рассчитаем значение прямоугольной последовательности для n = 20. Для этого выберете в меню онлайн-калькулятора закон задания общего члена числового набора n × (n+1) и укажите n. Программа выдаст мгновенный результат в виде 3080. Для вычислений обратного ряда измените закон на 1 / (n × (n+1)). Сумма обратных числовых элементов будет равна 0,952.

Ряд произведений трех последовательных чисел

Прямоугольный числовой набор можно изменить, добавив к нему еще один последовательный множитель. Следовательно, формула для вычисления n-ного члена набора преобразится в n × (n+1) × (n+2). Согласно этой формуле элементы ряда образуются в виде произведения трех последовательных чисел, например, 1 × 2 × 3 или 10 × 11 × 12. Первые десять элементов такого ряда выглядят как:

6, 24, 60, 120, 210, 336, 504, 720, 990, 1320

Это быстрорастущий числовой набор, а сумма соответствующего ряда при росте n уходит в бесконечность.

Обратная последовательность

Как и в предыдущем случае, мы можем обратить формулу n-ного члена и получить выражение 1 / (n × (n+1) × (n+2)). Тогда набор целых значений преобразится в ряд дробей, в знаменателе которых будут стоять произведения трех последовательных чисел. Начало такого набора имеет следующий вид:

1/6, 1/24, 1/60, 1/120, 1/210, 1/336…

Сумма соответствующего ряда определяется по формуле:

∑ = 0,5 × (0,5 - 1 / (n+1) × (n+2)).

Очевидно, что при росте количества элементов дробь 1 / ((n+1) × (n+2)) стремится к нулю, а сумма ряда приближается к значению 0,5 × 0,5 = 0,25. Рассмотрим примеры.

Ряд произведений трех последовательных чисел и обратный ему

Для работы с этим набором требуется выбрать закон определения общего элемента n × (n+1) × (n+2) и задать n, к примеру, 100. Калькулятор выдаст вам саму последовательность, а также значение результата сложения сотни чисел, равный 26 527 650. Если выбрать обратный закон 1 / (n × (n+1) × (n+2)), сумма ряда из 100 членов будет равна 0,250.

Заключение

Основные понятия и определения

Пусть задана бесконечная числовая последовательность :

, … (1.1)

В прошлом году мы определяли числовую последовательность как функцию натурального аргумента. Это означает, что каждый член последовательности является функцией своего номера п : . В дальнейшем иногда будем рассматривать и п , равное нулю, поэтому числовую последовательность будем определять как функцию целочисленного аргумента (от слов «целое число»).

Определение 1. Выражение

(1.2)

называется бесконечным числовым рядом , или, короче, рядом . Члены последовательности ,… называются членами ряда ; выражение с индексом п - общим членом ряда .

Отличить последовательность от ряда просто: члены последовательности пишутся через запятую, члены ряда соединены знаками плюс.

Таким образом, понятие ряда является обобщением суммирования на случай бесконечного числа слагаемых.

Ряд считается заданным, если известна (задана) формула его общего члена. Общий член ряда (1.2) совпадает с общим членом последовательности (1.1) и также является функцией целочисленного аргумента n , т.е. . Например, если задан общий член в виде

, (1.3)

то, полагая в этой формуле n = 1, 2, 3,..., можно найти любой член ряда, а тем самым и весь ряд:

- члены последовательности или члены ряда,

(1.4)

Числовой ряд.

Определение. Сумма n первых членов ряда называется n- ой частичной суммой ряда и обозначается символом :

Можно записать так: .

В частности,

Составим из всех частичных сумм ряда (1.2) числовую последовательность :

(1.7)

Она называется последовательностью частичных сумм. Как всякая числовая последовательность, она может иметь предел, т.е. сходиться, или не иметь предела, т.е. расходиться. Предел последовательности частичных сумм, если он существует, будем обозначать буквой S .

Определение. Ряд называется сходящимся (ряд сходится ), если сходится последовательность частичных сумм этого ряда. При этом предел S последовательности частичных сумм называется суммой данного ряда , т.е.

. (1.8)

Для сходящегося ряда, имеющего сумму S, можно формально записать равенство:

Ряд, не имеющий суммы (1.8), называют расходящимся . В частности, если , то говорят, что ряд расходится к , и в этом случае используют символическое равенство

.

Замечание. Из равенства (1.6) следует, что любой член ряда можно представить как разность частичных сумм и :

. (1.10)

Изобразим геометрически последовательность частичных сумм. На рис.1.1,а и б ряд сходится, на рис.1.1,в - расходится.

а) б)

Рис.1.1

Замечание 3. Иногда номер члена ряда начинается с нуля: .

Примеры числовых рядов. Вычисление суммы ряда

Пример 1 º.

1 + 1 + 1 + . . . + 1 + . . .

Здесь , .

Данный ряд расходится Þ 1 + 1 + 1 + . . . + 1 + . . .=+¥.

Пример 2 º.

Как обычно, чередование знаков + и - задается с помощью степени (-1). Здесь последовательность частичных сумм имеет вид:

т.е. значение частичной суммы зависит от чётности номера п :

Таким образом, чётные и нечётные частичные суммы стремятся к двум различным пределам:

чётные к нулю, нечётные - к единице:

Рис.1.2

Следовательно, последовательность не имеет предела, и данный ряд расходится.

Пример 3 º.

1 + 2 + 3 + ... + n + ...

Это арифметическая прогрессия с разностью . Напомним, что название «арифметическая» происходит оттого, что каждый член этой прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних с ним членов:

.

В данной прогрессии , а последовательность частичных сумм имеет вид:

Пример 6º.

.

Вывод будет дан ниже. Здесь в знаменателе только нечётные числа.

Пример 7º.

. Вывод будет дан ниже.

Пример 8º.

Вывод будет дан ниже. Сумма ряда равна числу е - основанию натурального логарифма.

Сумму ряда вычислить не всегда легко и даже не всегда возможно. Поэтому в теории рядов чаще решается более простая задача - выяснение, сходится ряд или расходится. Это называется исследованием сходимости ряда.

С помощью данного онлайн калькулятора можно находить суммы рядов, определять их сходимость, абсолютную и условную. Ряд — это последовательность чисел (либо функций — для функциональных рядов), которые связаны между собой определенным законом. Сумма членов ряда это и есть сумма ряда. Для доказательства того, что такая сумма существует (то есть она не равна бесконечности) можно использовать принципы сходимости числовых рядов — принцип Коши, принцип Доламбера и т.д. После доказательства того, что ряд сходится вычислить сумму числового ряда уже необходимо индивидуально. Для геометрической прогрессии, например, сумма вычисляется по формуле:

Найти сумму ряда онлайн

На нашем сайте вы можете вычислить сумму ряда онлайн . Всегда быстро, надежно, бесплатно. Удобный интерфейс для ввода рядов, задание начального и конечного значения элементов. Возможность находить сумму функционального ряда, использование буквенных констант. На практике студенты имеют дело с числовыми рядами довольно часто. Они широко используются в приближенных вычислениях (вычисление интегралов не имеющих аналитического решения, выполнение математических действий, решение дифференциальных уравнений и т.д.). А про функциональные ряды наподобие ряда Тейлора или ряда Фурье и говорить не приходится. С помощью нашего калькулятора определить сумму ряда теперь не проблема.

Определение числовой последовательности

Определения
Численная последовательность Вызывается серия номеров.

свойство
Код числовой последовательности: (an), (bn), (xn) и т. Д.

(an) = {1, 2, 3, 4, …, n, …} = N. Здесь a1 = 1, a2 = 2, a100 = 100.

(bn) = {-18, 23, 11, -4, 35, …}.

Здесь b1 = -18, b5 = 35.

Серия компьютеров

правила
Окончательная последовательность — содержит ограниченное количество терминов.

Бесконечная последовательность — Он содержит бесконечное число членов.

Примеры решений
(an) = {1, 5, 8} — конечная последовательность (3 выражения).

(bn) = {10, -10. 10.-10, 10, …} — бесконечная последовательность.

правило
Восходящая последовательность — a + 1> a для каждого n N, m, e, каждый из следующих членов больше предыдущего.

каждый последующий термин меньше предыдущего.

Примеры решений
1) -12; 14,5; 18; 40; … является восходящей последовательностью;

2) 4; 2; -1; -7; -11; … последовательность уменьшается;

3) -3; 2; -1; -4; 5; 3; -9 — не растет и не уменьшается;

4) 6; 6; 6; 6; 6; — стационарная (постоянная) последовательность.

правило
! Увеличение и уменьшение строго однообразный последовательность.

Рассчитать количество онлайн-сериалов

Функция ограничения

Введите функцию и точку, для которой вы хотите вычислить предел

Сайт предлагает подробное решение для поиска ограничений по функциям.

Мы будем вычислять границы функций в точке.

Указанная функция f (x) . Мы вычисляем ваш предел по точке x0

абсолютный (x) Абсолютное значение х
(модуль х или | x | ) arccos (x) Функция — аркоксин из х arccosh (x) х arcsin (x) Отдельный сын х arcsinh (x) HyperX гиперболический х arctg (x) Функция — арктангенс из х arctgh (x) х е е число — около 2,7 exp (x) Функция — показатель х (как е ^х ) log (x) или ln (x) Естественный логарифм х
(Да log7 (x) log10 (x) = log (x) / log (10)) пи sin (x) Функция — Синус х cos (x) Функция — Конус от х sinh (x) х cosh (x) х sqrt (x) х sqr (x) или x ^ 2 Функция — квадрат х tg (x) Функция — Тангенс от х tgh (x) х cbrt (x) х почва (х) Функция округления х символ (x) Функция — символ х erf (x)

Реальные числа введите в форму 7,5 , не 7,5 2 * x — умножение 3 / x — разделение x ^ 3 — eksponentiacija x + 7 — Кроме того, x — 6 — обратный отсчет

Сумма ряда

Введите данные для расчета суммы партии

Найдем сумму многих чисел.

Найдите сумму серии в Интернете

Если это не найдено, система рассчитывает сумму партии с определенной точностью.

Серия сходимости

Этот калькулятор может определить, сходится ли партия, он также показывает, какие критерии сходимости работают, а какие нет.

Он также знает, как определить сходимость степенных рядов.

Она также написала серию, где вы можете увидеть степень сходимости ряда (или расхождения).

Правила ввода терминов и функций

Выражения могут состоять из функций (запись в алфавитном порядке):

абсолютный (x) Абсолютное значение х
(модуль х или | x | ) arccos (x) Функция — аркоксин из х arccosh (x) Арксозин является гиперболическим из х arcsin (x) Отдельный сын х arcsinh (x) HyperX гиперболический х arctg (x) Функция — арктангенс из х arctgh (x) Арктангенс является гиперболическим х е е число — около 2,7 exp (x) Функция — показатель х (как е ^х ) log (x) или ln (x) Естественный логарифм х
(Да log7 (x) , Необходимо ввести log (x) / log (7) (или, например, для log10 (x) = log (x) / log (10)) пи Число «Pi», которое составляет около 3,14 sin (x) Функция — Синус х cos (x) Функция — Конус от х sinh (x) Функция — Синус гиперболический х cosh (x) Функция — косинус-гиперболический х sqrt (x) Функция представляет собой квадратный корень из х sqr (x) или x ^ 2 Функция — квадрат х tg (x) Функция — Тангенс от х tgh (x) Функция — касательная гиперболическая от х cbrt (x) Функция представляет собой кубический корень х почва (х) Функция округления х на нижней стороне (пример почвы (4.5) == 4.0) символ (x) Функция — символ х erf (x) Функция ошибки (Лаплас или интеграл вероятности)

Следующие операции можно использовать в терминах:

Реальные числа введите в форму 7,5 , не 7,5 2 * x — умножение 3 / x — разделение x ^ 3 — eksponentiacija x + 7 — Кроме того, x — 6 — обратный отсчет

Серия сходимости

Общий член ряда является рациональной частью. Фракцию разлагают на антитело с использованием метода неопределенных коэффициентов:

Выберите счетчик счетчиков счетчика для первой части:

Развернуть скобки:

Теперь мы находим, что находим неизвестные коэффициенты:

После продолжения общий член ряда записывается следующим образом:

Затем мы составим частичную сумму ряда:

Вместе мы получаем:

Для кадров мы страдаем одной секундой:

Заметим, что в скобках есть похожие выражения, которые взаимно уничтожают друг друга. Только два:

Сходимость ряда чисел

Забронированная сумма

Начисленные суммы представляют собой неоплаченные расходы, которые компания включила в отчет о прибылях и убытках.

Обычно это суммы, выплачиваемые через определенные промежутки времени, такие как заработная плата, заработная плата, государственные услуги и вычет подоходного налога с доходов. Например, если баланс находится в середине периода оплаты, платеж в эту дату отображается как сумма, начисленная.

Рассчитанная сумма для отпуска и длинных услуг на счетах потребителей не распространяется, но вычитается полностью на счет созданного резерва.

Предварительно выставленные суммы пенсии, которые пенсионер не требует в установленные сроки, уплачиваются за последние три года до подачи пенсионного требования.

Оплаченная страховая сумма должна распределяться среди сотрудников самозанятых бригад в соответствии с установленной тарифной ставкой и временем работы.

Расчетная сумма выручки облагается НДС.

Предварительно выставленные суммы пенсии, которые не требуются пенсионерам своевременно, выплачиваются в прошлом не более чем за 3 года до подачи пенсионного требования.

Предварительно выставленные суммы пенсии, которые пенсионер не требует в срок, уплачиваются за последние 3 года до подачи требования о выплате пенсии.

Уплаченная пенсия — это сумма, которую пенсионер не выплачивает своевременно, в течение последнего времени, но не более 3 лет (пенсионеры, получающие пенсию в соответствии с Законом о пенсиях и дополнениях для членов колхозов, 15 июля 1964 года — не более 1 года), прежде чем обращаться за пенсией.

Суммы пенсий, которые не были получены в установленный срок по вине органа, назначающего или выплачивающего пенсию, выдается без ограничений в прошлом.

Рассчитанные суммы выплат за отпуск облагаются налогом так же, как и предоплаченные зарплаты.

Начисленные суммы пособий и средств для возмещения дополнительных затрат, которые не были получены процессором своевременно, оплачиваются просроченными, но не более одного года.

Начисленные суммы пособий и средств на возмещение дополнительных расходов, которые они не получили в результате ошибки органа, назначенного и оплаченного ими, выплачиваются на протяжении всего прошедшего периода.

Уплаченная пенсия — это сумма, которую пенсионер не выплачивает своевременно, в течение последнего времени, но не более 3 лет (пенсионеры, получающие пенсию в соответствии с Законом о пенсиях и дополнениях для членов колхозов, 15 июля 1964 года — не более 1 года), прежде чем обращаться за пенсией. Размер пенсии не получает своевременно органом, назначается или выплачивается пенсия, он выдается недавно без каких-либо ограничений.

Платные пенсионные суммы, которые не требуются пенсионерам своевременно, подлежат оплате в течение периода, не превышающего одного года до подачи заявки на получение пенсии.