Теорема синусов
Теорема синусов устанавливает зависимость между величиной углов треугольника и противолежащих ему сторон.Формулировка теоремы синусов:
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов
Где
R
- радиус описанной вокруг треугольника окружности
a, b, c
- стороны треугольника
α, β, γ
- величины противолежащих этим сторонам углов
Доказательство теоремы синусов
Доказательство теоремы синусов происходит с помощью дополнительных построений.
Построим произвольный треугольник
, вписанный в окружность. Обозначим его как ABC.
Дополнительно построим диаметр окружности
, в который вписан произвольный треугольник, но так, чтобы он проходил через один из его углов. Диаметр равен двойному радиусу окружности (2R).
Примем во внимание, что одним из свойств прямоугольного треугольника, вписанного в окружность является то, что его гипотенуза, является диаметром окружности, в которую он вписан.
Обозначим диаметр для описанной окружности как BD. Образовавшийся треугольник BCD является прямоугольным, поскольку его гипотенуза лежит на диаметре описанной окружности (свойство углов, вписанных в окружность).
Таким образом, дополнительно построенный треугольник, у которого одна общая сторона с построенным ранее произвольным треугольником, а гипотенуза совпадает с диаметром окружности - является прямоугольным . То есть треугольник DBC - прямоугольный.
Для доказательства всей теоремы, поскольку размеры треугольника ABC выбраны произвольным образом, достаточно доказать, что соотношение одной произвольной стороны к противолежащему ей углу равно 2R.
Пусть это будет 2R = a / sin α , то есть если взять по чертежу 2R = BC / sin A.
Поскольку, углы, вписанные в окружность, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны , то угол CDB либо равен углу CAB (если точки A и D лежат по одну сторону от прямой BC), либо равен π - CAB (в противном случае).
Обратимся к свойствам тригонометрических функций. Поскольку sin(π − α) = sin α , то указанные варианты построения треугольника все равно приведут к одному результату.
Вычислим значение 2R = a / sin α, по чертежу 2R = BC / sin A. Для этого заменим sin A на соотношение соответствующих сторон прямоугольного треугольника.
2R = BC / sin A
2R = BC / (BC / DB)
2R = DB
А, поскольку, DB строился как диаметр окружности, то равенство выполняется.
Повторив то же рассуждение для двух других сторон треугольника, получаем:
Теорема синусов доказана.
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
Доказательство:
Пусть в треугольнике ABC, сторона AB = c, сторона BC = a, сторона CA = b.
Попытаемся доказать, что a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C). Воспользуемся теоремой о площади треугольника, и запишем её для каждой пары сторон и соответствующего им угла:
S = (1/2)*a*b*sin(C),
S = (1/2)*b*c*sin(A),
S = (1/2)*c*a*sin(B).
Так как левые части у первых двух равенств одинаковые, то правые части можно приравнять между собой. Получим (1/2)*a*b*sin(C) = (1/2)*b*c*sin(A). Сократим это равенство на ½*b, получим:
a*sin(C) = c*sin(A).
a/sin(A) = c/sin(C).
Так как левые части у второго и третьего равенств одинаковые, то правые части можно приравнять между собой. Получим (1/2)*b*c*sin(C) = (1/2)*c*a*sin(B). Сократим это равенство на 1/2*c, получим:
b*sin(A) = a*sin(B).
По свойству пропорции получаем:
a/sin(A) = b/sin(B).
Объединив полученные два результата получаем: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C). Что и требовалось доказать.
Решение задачи
Также можно доказать следующий факт. Отношение любой стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметр описанной около треугольника окружности.
Другими словами, для любого треугольника ABC, у которого сторона AB = c, сторона BC = a, сторона CA = b, имеют место следующие равенства: a/sin(A) =b/sin(B) = c/sin(C) = 2*R. Здесь R - радиус описанной около треугольника окружности.
Нужна помощь в учебе?
Предыдущая тема:
Построим произвольный треугольник, вписанный в окружность. Обозначим его как ABC.
Для доказательства всей теоремы, поскольку размеры треугольника выбраны произвольным образом, достаточно доказать, что соотношение одной произвольной стороны к противолежащему ей углу равно 2R. Пусть это будет 2R = a / sin α, то есть если взять по чертежу 2R = BC / sin A.
Проведем диаметр BD для описанной окружности. Образовавшийся треугольник BCD является прямоугольным, поскольку его гипотенуза лежит на диаметре описанной окружности (свойство углов, вписанных в окружность).
Поскольку, углы, вписанные в окружность, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то угол CDB либо равен углу CAB (если точки A и D лежат по одну сторону от прямой BC), либо равен π - CAB (в противном случае).
Обратимся к свойствам тригонометрических функций. Поскольку sin(π − α) = sin α, то указанные варианты построения треугольника все равно приведут к одному результату.
Вычислим значение 2R = a / sin α, по чертежу 2R = BC / sin A. Для этого заменим sin A на соотношение соответствующих сторон прямоугольного треугольника.
2R = BC / sin A
2R = BC / (BC / DB)
2R = DB
А, поскольку, DB строился как диаметр окружности, то равенство выполняется.
Повторив то же рассуждение для двух других сторон треугольника, получаем:
Теорема синусов доказана.
Теорема синусов
Примечание . Это часть урока с задачами по геометрии (раздел теорема синусов). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа "квадратный корень" применяется функция sqrt(), в которой sqrt - символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение .
Теорема синусов:
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, или, в расширенной формулировке:
a / sin α = b / sin β = c / sin γ = 2R
где R - радиус описанной окружности
Теорию - формулировку и доказательство теоремы подробно см. в главе "Теорема синусов" .
Задача
В треугольнике XYZ угол Х=30 угол Z=15. Перпендикуляр YQ к ZY делит сторону ХZ на части XQ и QZ.Найти XY, если QZ=1.5м
Решение
.
Высота образовала два прямоугольных треугольника XYQ и ZYQ.
Для решения задачи воспользуемся теоремой синусов.
QZ / sin(QYZ) = QY / sin(QZY)
QZY = 15 градусов, Соответственно, QYZ = 180 - 90 - 15 = 75
Поскольку длина высоты треугольника теперь известна, найдем XY по той же теореме синусов.
QY / sin(30) = XY / sin(90)
Примем во внимание табличные значения некоторых тригонометрических функций:
- синус 30 градусов равен sin(30) = 1 / 2
- синус 90 градусов равен sin(90) = 1
QY = XY sin (30)
3/2 (√3 - 1) / (√3 + 1) = 1/2 XY
XY = 3 (√3 - 1) / (√3 + 1) ≈ 0.8 м
Ответ : 0,8 м или 3 (√3 - 1) / (√3 + 1)
Теорема синусов (часть 2)
Примечание . Это часть урока с задачами по геометрии (раздел теорема синусов). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме .
Теорию подробно см. в главе "Теорема синусов" .
Задача
Сторона АВ треугольника ABC равна 16см. Угол А равен 30 градусам. Угол В равен 105 градусам. Вычислите длину стороны ВС.
Решение
.
Согласно теореме синусов, стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:
a / sin α = b / sin β = c / sin γ
Таким образом
BC / sin α = AB / sin γ
Величину угла С найдем, исходя из того, сумма углов треугольника равна 180 градусам.
С = 180 - 30 -105 = 45 градусов.
Откуда:
BC / sin 30° = 16 / sin 45°
BC = 16 sin 30° / sin 45°
Обратившись к таблице тригонометрических функций, находим:
BC = (16 * 1 / 2) / √2/2 = 16 / √2 ≈ 11,3 см
Ответ : 16 / √2
Задача
.
В треугольнике ABC угол А = α, угол С = β, ВС = 7см, ВН - высота треугольника.
Найти АН
Выпускники, которые готовятся сдавать ЕГЭ по математике и хотят получить достаточно высокие баллы, обязательно должны освоить принцип решения задач на применение теоремы синусов и косинусов. Многолетняя практика показывает, что подобные задания из раздела «Геометрия на плоскости» являются обязательной частью программы аттестационного испытания. Поэтому, если одним из ваших слабых мест являются задачи на теорему косинусов и синусов, рекомендуем обязательно повторить базовую теорию по данной теме.
Готовьтесь к экзамену вместе с образовательным порталом «Школково»
Занимаясь перед сдачей ЕГЭ, многие выпускники сталкиваются с проблемой поиска базовой теории, необходимой для решения практических задач на применение теоремы синусов и косинусов.
Учебник далеко не всегда оказывается под рукой в нужный момент. А найти необходимые формулы иногда бывает достаточно проблематично даже в Интернете.
Подготовка к аттестационному испытанию вместе с образовательным порталом «Школково» будет максимально качественной и эффективной. Чтобы задачи на теорему синусов и косинусов давались легко, рекомендуем освежить в памяти всю теорию по данной теме. Этот материал наши специалисты подготовили на основе богатого опыта и представили в понятной форме. Найти его вы можете в разделе «Теоретическая справка».
Знание базовых теорем и определений - это половина успеха при прохождении аттестационного испытания. Отточить навык решения примеров позволяют соответствующие упражнения. Чтобы их найти, достаточно перейти в раздел «Каталог» на образовательном сайте «Школково». Там представлен большой перечень заданий различного уровня сложности, который постоянно дополняется и обновляется.
Задачи на теоремы синусов и косинусов, подобные тем, что встречаются в ЕГЭ по математике, учащиеся могут выполнять в онлайн-режиме, находясь в Москве или любом другом российском городе.
В случае необходимости любое упражнение, например, можно сохранить в разделе «Избранное». Это позволит в дальнейшем вернуться к нему, чтобы еще раз проанализировать алгоритм нахождения правильного ответа и обсудить его с преподавателем в школе или репетитором.
Теорема синусов — теорема, которая устанавливает зависимость: стороны треугольника - противолежащие им углы.
Теорема синусов: Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
Есть 2 подвида теоремы: обычная и расширенная теорема синусов.
Обычная теорема синусов:
Стороны треугольника пропорциональны sin противоположных углов.
Расширенная теорема синусов для произвольного треугольника:
где a, b, c — стороны треугольника, , β, γ — противолежащие этим сторонам углы, а R — радиус окружности , которая описана вокруг треугольника.
Доказательство теоремы синусов.
Пусть есть треугольник, вписанный в окружность. Обозначим его как ABC .
Что бы доказать всю теорему, так как треугольник имеет произвольные размеры, можно доказать только то, что соотношение 1-ной произвольной стороны к противолежащему углу соответствует 2R . Допустим, это будет 2R = a/sin , т.е. если смотреть по чертежу 2R = BC / sin A .
Проведем диаметр |BG | для описанной окружности. Из свойства углов, которые вписаны в окружность, угол GCB будет прямым, а угол CGB равен либо , когда точки A и G находятся по одну сторону от прямой BC , или − в противоположном варианте. Так как sin (−)=sin , в обоих случаях получаем.