Определение квадратичной функции
Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида:
y= ax 2 +bx + c
где: a, b, c – числа
Х – независимая переменная
А ТЕПЕРЬ НЕБОЛЬШОЙ ТЕСТ
- А ТЕПЕРЬ НЕБОЛЬШОЙ ТЕСТ
Определить, какие из данных функций являются квадратичными:
у = 6х 2 – 1
у = 3х 2 + 8х
у = -(3х + 2) 2 + 5
у = 14х 3 + 3х 2 - 4
у= 2х 2 + 3х - 5
у = х 2 – 7х + 2
у = -3х 4 + 5х 2 - 8
График любой квадратичной функции – парабола.
1. Найти координаты вершины параболы, построить на координатной плоскости соответствующую точку, провести ось симметрии.
2. Определить направление ветвей параболы.
3. Найти координаты еще нескольких точек, принадлежащих искомому графику (в частности, координаты точки пересечения параболы с осью у и нули функции, если они существуют).
4. Отметить на координатной плоскости найденные точки и соединить их плавной линией.
ах 2 + bх + с
ах 2 + bx + с = а (х 2 + x) + с =
- Выделим квадрат двучлена из квадратного трехчлена ах 2 + bх + с ах 2 + bx + с =
- Выделим квадрат двучлена из квадратного трехчлена ах 2 + bх + с ах 2 + bx + с = а (х 2 + x) + с = = а + с = = а + с = а
- Выделим квадрат двучлена из квадратного трехчлена ах 2 + bх + с ах 2 + bx + с = а (х 2 + x) + с = = а + с = = а + с = а
Нам удалось преобразовать квадратный трехчлен к приведенному виду у = а (х – x 0 ) 2 + y 0 ,
Теперь если , то получаем ,
чтобы построить график функции у = ах 2 + bx + с ,
надо выполнить параллельный перенос параболы у = ах 2 , чтобы вершина оказалась в точке ( x 0 ; y 0 )
Графиком квадратичной функции
у = ах 2 + b х + с является парабола, которая получается из параболы
у = ах 2 параллельным переносом .
Вершина параболы - (х 0 ; у о) ,
где: х о = - у 0 =
Осью параболы будет прямая
0 - Множество значений при a Многие свойства квадратичной функции зависят от значения дискриминанта." width="640"
Функция непрерывна
Множество значений при a0 -
Множество значений при a
Многие свойства квадратичной функции зависят от значения дискриминанта .
Дискриминантом квадратного уравнения ах 2 + b х + с = 0 называется выражение
b 2 – 4ac
Его обозначают буквой D , т.е. D= b 2 – 4ac .
Возможны три случая:
- D 0
- D 0
- D 0
- если дискриминант больше нуля, то парабола пересекает ось абсцисс в двух точках,
- если дискриминант равен нулю, то парабола касается оси абсцисс,
- если дискриминант меньше нуля, то парабола не пересекает ось абсцисс,
- абсцисса вершины параболы равна
ветви параболы направлены вверх,
ветви параболы направлены вниз
0 при х 4 f(x)
Ось симметрии
Функция возрастает в промежутке [ +3; +)
Функция убывает в промежутке (- ;+3]
Наименьшее значение функции равно -1
Наибольшего значения функции не существует
Учебно-воспитательные задачи: Образовательные: Приобретение знаний по применению графического изображения квадратичной функции. Приобретение знаний по применению графического изображения квадратичной функции. Применение приемов решения задач. Применение приемов решения задач.Развивающие: Совершенствование умения строить параболу. Совершенствование умения строить параболу. Применение свойств квадратичной функции в других и их взаимосвязь с математикой. Применение свойств квадратичной функции в других и их взаимосвязь с математикой.Воспитательные: Пробудить интерес к истории математики. Пробудить интерес к истории математики. Способствовать расширению кругозора через информационный материал, диалоги и совместные размышления. Способствовать расширению кругозора через информационный материал, диалоги и совместные размышления.
Оборудование: Геометрический инструмент. Геометрический инструмент. Компьютер Компьютер Компьютерная презентация. Компьютерная презентация. Исторический материал. Исторический материал.Метод: Словесный. Словесный. Практический. Практический. Групповая работа. Групповая работа. Защита проектов. Защита проектов. Тип урока: заключительный по теме: Квадратичная функция с использованием активных методов.
Ход урока 1. Организационный момент. 2. Вести с урока. 1) повторить определение квадратичной функции, ее свойства и график. (Фронтальная работа). 2) понятие параболы. (Ученик объясняет, используя компьютерную презентацию) 3) различие параболы: по направлению ветвей, по координатам вершин, по коэффициенту а, 4) Применение параболы в физике, технике, архитектуре, вокруг нас.
Определение. Функция вида у = ах 2 +bх+с, где а, b, c – заданные числа, а0, х – действительная переменная, называется квадратичной функцией. Примеры: 1) у=5х+1 4) у=x 3 +7x-1 2) у=3х) у=4х 2 3) у=-2х 2 +х+3 6) у=-3х 2 +2х
Свойства Парабола кривая второго порядка. Парабола кривая второго порядка. Она имеет ось симметрии, называемой осью параболы. Ось проходит через фокус и перпендикулярна директрисе. Она имеет ось симметрии, называемой осью параболы. Ось проходит через фокус и перпендикулярна директрисе. Если фокус параболы отразить относительно касательной, то его образ будет лежать на директрисе. Если фокус параболы отразить относительно касательной, то его образ будет лежать на директрисе. Парабола является антиподерой прямой. Парабола является антиподерой прямой. Все параболы подобны. Расстояние между фокусом и директрисой определяет масштаб. Все параболы подобны. Расстояние между фокусом и директрисой определяет масштаб. При вращении параболы вокруг оси симметрии получается эллиптический параболоид. При вращении параболы вокруг оси симметрии получается эллиптический параболоид.
Определить координаты вершины параболы. Определить координаты вершины параболы. Уравнение оси симметрии параболы. Уравнение оси симметрии параболы. Нули функции. Нули функции. Промежутки, в которых функция возрастает, убывает. Промежутки, в которых функция возрастает, убывает. Промежутки, в которых функция принимает положительные значения, отрицательные значения. Промежутки, в которых функция принимает положительные значения, отрицательные значения. Каков знак коэффициента a ? Каков знак коэффициента a ? Как зависит положение ветвей параболы от коэффициента a ? Как зависит положение ветвей параболы от коэффициента a ?
Координаты точек пересечения параболы с осями координат. С Ох: у=0 ах 2 +bх+с=0 С Ох: у=0 ах 2 +bх+с=0 С Оу: х=0 у=с С Оу: х=0 у=с Задание. Найти координаты точек пересечения параболы с осями координат: 1)у=х 2 -х; 2)у=х 2 +3; 3)у=5х 2 -3х-2 (0;0);(1;0) (0;3) (1;0);(-0,4;0);(0;2)
Тест Для каждой из функций, графики которых изображены, выберите соответствующее условие и отметьте знаком «+». D>0;a>0 D>0;a0;a0;a 0;a>0 D>0;a0;a0;a"> 0;a>0 D>0;a0;a0;a"> 0;a>0 D>0;a0;a0;a" title="Тест Для каждой из функций, графики которых изображены, выберите соответствующее условие и отметьте знаком «+». D>0;a>0 D>0;a0;a0;a"> title="Тест Для каждой из функций, графики которых изображены, выберите соответствующее условие и отметьте знаком «+». D>0;a>0 D>0;a0;a0;a">
Построить график функции и по графику выяснить ее свойства. У = -х 2 -6х-8 Свойства функции: у>0 на промежутке у 0 на промежутке у"> 0 на промежутке у"> 0 на промежутке у" title="Построить график функции и по графику выяснить ее свойства. У = -х 2 -6х-8 Свойства функции: у>0 на промежутке у"> title="Построить график функции и по графику выяснить ее свойства. У = -х 2 -6х-8 Свойства функции: у>0 на промежутке у">
В данной презентации рассматриваются квадратичная функция, её свойства и график. Приводится пример построения графика квадратичной функции - параболы. Дается задание для самостотельной работы в двух вариантах. Презентацию можно использовать на уроках алгебры при изучении темы и при подготовке к ОГЭ по математике
Просмотр содержимого документа
«Презентация "Квадратичная функция и её график"»
- График функции
y = ax 2 .
- График функции
y = ax 2 + bx + c .
- Лабораторно-графическая работа
0 x ≤ 0 x ≥ 0 0 х y = ax 2 , a " width="640"
y = ax 2 , a0
y = ax 2 , a
Задача: Построить график функции y = x 2 – 2x + 3 и сравнить с графиком функции y = x 2
Построение.
- Графиком функции y = x 2 – 2x + 3 является парабола, ветви которой направлены вверх.
- Составим таблицу значений функции y = x 2 – 2x + 3
- Построим график функции y = x 2 – 2x + 3
- Сравним графики y = x 2 – 2x + 3 и y = x 2
y = x 2 – 2x + 3 = x 2 – 2x + 1+ 2 = (x – 1) 2 + 2
Вывод: Графиком функции y = x 2 – 2x + 3 является парабола, получаемая сдвигом параболы y = x 2 на единицу вправо и на две единицы вверх .
y = x 2 – 2x + 3
0 Графиком функции y = ax 2 +bx+c является парабола, получаемая сдвигом параболы y = ax 2 вдоль координатных осей. 0 х Вершины параболы y = ax 2 +bx+c y = ax 2 +bx+c, a " width="640"
Ось симметрии
y = ax 2 +bx+c, a0
Графиком функции
y = ax 2 +bx+c является парабола, получаемая сдвигом параболы y = ax 2 вдоль координатных осей.
Вершины параболы
y = ax 2 +bx+c
y = ax 2 +bx+c, a
Задания
Дана функция y = ax 2 +bx + c.
- Найдите координаты точек пересечения графика функции с осями координат.
- Постройте график данной функции.
- С помощью графика найдите:
- множество значений х, на котором функция:
1) возрастает,
2) убывает,
3) принимает положительные значения,
4) принимает отрицательные значения;
б) значения переменной х, при которых функция принимает наибольшее и наименьшее значение.
- Проходит ли график данной функции через точки A(m; n), B(-m; n), C(-m; -n), D(m; -n).
Вариант 1.
Вариант 2.
y = -x 2 + 6x – 5;
m = 2; n = 3
y = 0,5x 2 + 3x – 0,5;
Квадратичная функция. Квадратичная функция и её график. Построение графика квадратичной функции. Квадратичная функция, её график и свойства. 9 класс Тема урока: „Квадратичная функция“. Квадратичная функция, её свойства и график. Квадратичная функция, ее график и свойства. Решение неравенств с помощью квадратичной функции.
Исследование квадратичной функции. Урок алгебры в 9 классе по теме «Квадратичная функция ». Построение графика квадратичной функции с модулем. Алгоритм построения графика квадратичной функции. Преобразование графика квадратичной функции. Обобщающий урок по теме: «Квадратичная функция». Построение и преобразование графика квадратичной функции.
«Построение графика квадратичной функции» (9 класс). Презентация к уроку «Построение квадратичной функции». Решение квадратного неравенства с помощью графика квадратичной функции. Презентация Тема: Квадратичная функция. Квадратичная функция: просто о сложном. Итоговый урок по теме «Квадратичная функция». Квадратичная функция у = ах2 + bx + c.
Построение графика квадратичной функции методом сдвига. Изменение графиков квадратичной функции. Составные условия в разветвляющихся алгоритмах. Построение графика квадратичной функции с помощью преобразований. Решение задач, связанных с квадратичной функцией, содержащей параметр. Формы виды психодрамы.
Разделы: Математика
Цели урока:
- Образовательные:
учить построению графика квадратичной функции и использованию графика для получения ее свойств. - Развивающие
:
развивать логическое мышление, алгоритмическую культуру, внимание, навыки самостоятельной работы с источником информации и самоконтроля, поддерживать интерес к математике. - Воспитательные:
воспитывать последовательность, ответственность, самостоятельность, настойчивость, дисциплинированность.
Задачи урока:
- повторить построение графика функции, название и расположение графиков функций у = х 2 , у = ах 2 ; свойства функций;
- формировать знание формулы квадратичной функции, названия ее графика, направление ветвей параболы, формулы для вычисления вершины параболы;
- учить распознавать квадратичную функцию по формуле, направление ветвей параболы (в зависимости от коэффициента а); находить координаты вершины параболы; составлять таблицу на основании свойства симметричности параболы; строить график квадратичной функции; находить свойства квадратичной функции;
- проверить первичный уровень усвоения материала;
- развивать логическое мышление, алгоритмическую культуру, внимание, навыки самостоятельной работы с источником информации и самоконтроля, формировать интерес к математике;
- воспитывать последовательность, ответственность, самостоятельность, настойчивость, дисциплинированность.
Необходимое оборудование: персональные компьютеры для работы учащихся.
Ход урока
1. Оргмомент: учитель приветствует учащихся, проверяет готовность к уроку, мотивирует учащихся, объявляет план урока, комментирует принцип самостоятельной работы с презентацией (переход между слайдами производится при нажатии на стрелки, а при их отсутствии просто по щелчку; возможен переход внутри презентации по гиперссылкам ).
Изучение нового материала:Указывается тема урока. “Построение графика квадратичной функции”.(Слайд
1)
Приложение
Определяются цели урока. (Слайд 2)
Дается определение квадратичной функции.
Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида
y = ax
²
+
bx+ c
, где х
–
независимая переменная, a, b
и с
– некоторые числа (причем, а ≠ 0
).
Приводятся примеры квадратичных функций.
Например: у = 5х² + 6х+ 3, у = – 7х²+8х – 2, у = 0,8х² + 5, у = ¾х² – 8х, у =
– 12х²
– квадратичные функции. (Слайд 3)
Дается определение графика квадратичной функции.
Графиком квадратичной функции является парабола, ветви которой направлены вверх (если а > 0) или вниз (если а < 0).
Приводятся примеры графиков квадратичной функции.
у = 2х² + 4х – 1 – графиком является парабола, ветви которой направлены вверх (т.к. а = 2, а > 0).
У= – 7х² – х + 3 – графиком является парабола, ветви которой направлены вниз (т.к. а = -7, а < 0).(Слайд 4)
План построения графика функции.
1. Описать функцию: название функции, что является графиком функции, куда направлены ветви параболы.
Пример: у = х²– 2х – 3 – квадратичная функция, графиком является парабола, ветви которой направлены вверх (т.к. а = 1, а > 0 ). (Слайд 5)
2.
Найти координаты вершины параболы А(m;n) по формулам:
или n = у(m)
, т.е. подставить найденное значение абсциссы m
в формулу, которой задана функция и вычислить значение.
Прямая x=m
является осью симметрии параболы.
Пример: у = х² – 2х – 3
(а = 1; b = – 2; с = – 3)
А(1;-4) – вершина параболы.
Прямая х = 1 – ось симметрии параболы. (Слайд 6)
3. Заполнить таблицу значений функции. Прямая x=m является осью симметрии параболы, т.е. точки графика симметричны относительно этой прямой. В таблице расположить вершину в середине таблицы и взять соседние симметричные значения х, посчитать значение функции в выбранных значениях х .
Пример: у = х² – 2х – 3. Составим таблицу значений функции: (Слайд 7)
| x | – 1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| у | 0 | – 3 | – 4 | – 3 | 0 |
4.
Построить график функции: отметить в координатной плоскости точки,
координаты которых указаны в таблице, и соединить их плавной линией.
Построение графика функции подробно показывается на слайде. (Слайд 8)
Попробуйте ответить на контрольные вопросы:
- Сформулируйте определение квадратичной функции.
- Что представляет собой график квадратичной функции?
- Куда могут быть направлены ветви параболы и от чего это зависит?
- В какой последовательности нужно строить график квадратичной функции?
(Если вы затрудняетесь ответить на поставленные вопросы, то можете посмотреть теорию еще раз. Для этого подведите курсор мыши на значок “домик” и нажмите на левую кнопку мыши).(Слайд 9)
Стоит немного отдохнуть от компьютера.
Попробуйте построить в тетради график функции у = – 2х² + 8х – 3 . (Если вы забыли последовательность действий, запишите в тетради формулу и перейдите по ссылке “план”). (Слайд 10)
План построения графика квадратичной функции. (Ученик может пропустить его, если он запомнил план построения графика квадратичной функции).
1. Описать функцию:
– название функции;
– что является графиком функции;
– куда направлены ветви параболы
2. Найти координаты вершины параболы А(m; n)
3. Заполнить таблицу значений функции.
4. Построить график функции:
– отметить в координатной плоскости точки, координаты которых указаны в
таблице;
– соединить их плавной линией. (Слайд 11 – скрытый)
Самопроверка. Проверьте себя. Ваше задание должно быть выполнено следующим образом:
у = – 2х² + 8х – 3 – квадратичная функция, графиком является парабола, ветви которой направлены вниз (т.к. а = -2, а < 0);
Найдем координаты вершины параболы
(Слайд 12)
А (2; 5) – вершина параболы.
х = 5 – ось симметрии параболы.
Составим таблицу значений функции.
| х | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| у | -3 | 3 | 5 | 3 | -3 |
Если у вас получилось тоже самое – вы молодец, и мы вас поздравляем!!!
Вы можете перейти к следующей странице.
Если вы допустили ошибку – не огорчайтесь. У вас все еще впереди! Вы можете просмотреть объяснение еще раз, выбрав левой кнопкой мыши значок “домик” или заглянуть в свой учебник (п. 7) (Слайд 13)
Рассмотрим свойства этой квадратичной функции (листаем свойства по щелчку мыши, каждое свойство сопровождается действием на рисунке).
- Область определения функции (-∞; +∞), область значений функции (-∞; 5] ;
- Нули функции х = 0,5 и х = 3,5;
- у > 0 на промежутке (0,5; 3,5) , y < 0 на каждом из промежутков (-∞; 0,5) и (3,5; +∞);
- Функция возрастает на промежутке (-∞; 2] , функция убывает на промежутке ; под ред. С.А. Теляковского. – М.: Просвещение, 2008–2009 г.
- Глава I пункт 7 (учить); пункт 1, 2, 5, 6 (повт.), № 123, № 124 (б, в). (Слайд 25 – скрытый)
- Дополнительное задание: выполните № 125 (а) из вашего учебника. (Слайд 26 – скрытый)
Саморефлексия.
Оцените свое настроение и состояние после проведенного урока.
Выберите кнопкой мыши соответствующую оценку (Слайд 27)
(По гиперссылке осуществляется переход на соответствующий слайд).
(Слайды
28–31)